При выполнении различных алгебраических преобразований часто удобно пользоваться формулами сокращенного умножения. Зачастую эти формулы применяются не столько для того чтобы сократить процесс умножения, а наоборот скорее для того, чтобы по результату понять, что его можно представить как произведение некоторых множителей. Таким образом, данные формулы нужно уметь применять не только слева направо, но и справа налево. Перечислим основные формулы сокращенного умножения. Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Предыдущие две формулы также иногда записывают в несколько другом виде, который даёт нам какое-то выражение для суммы квадратов:

Также нужно понимать, что будет получаться если в скобках в квадрате знаки будут расставлены "нестандартным" способом:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и квадратный трехчлен

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле :

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле :

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней. В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле :

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой :

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета . Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения согласно теореме Виета может быть вычислено по формуле:

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a > 0), значение квадратного трехчлена:

Основные свойства степеней

У математических степеней есть несколько важных свойств, перечислим их. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя:

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются:

Если перемножаются числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала перемножить числа, а затем произведение возвести в эту степень. Обратная процедура также возможна, если имеется произведение в степени, то можно каждое из умножаемых возвести в эту степень по отдельности а результаты перемножить:

Также, если делятся числа с одинаковой степенью, но разным основанием, то можно сначала поделить числа, а затем частное возвести в эту степень (обратная процедура также возможна):

Несколько простых свойств степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень. Ну а основное свойство отрицательной степени записывается следующим образом:

Основные свойства математических корней

Математический корень можно представить в виде обычной степени, а затем пользоваться всеми свойствами степеней приведёнными выше. Для представления математического корня в виде степени используют следующую формулу:

Тем не менее можно отдельно выписать ряд свойств математических корней, которые основываются на свойствах степеней описанных выше:

Для арифметических корней выполняется следующее свойство (которое одновременно можно считать определением корня):

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a ; если же n – четное, то только при неотрицательном a . Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство (из под корня нечетной степени можно выносить знак "минус"):

Так как значение корня четной степени может быть только неотрицательным , то для таких корней имеется следующее важное свойство:

Некоторые дополнительные сведения из алгебры

Если x 0 – корень многочлена n -ой степени P n (x ), то выполняется следующее равенство (здесь Q n-1 (x ) – некоторый многочлен (n – 1)-ой степени):

Процедура в рамках которой квадратный трехчлен представляется как скобка в квадрате и еще некоторое слагаемое называется выделением полного квадрата . И хотя операцию выделения полного квадрата проще выполнять каждый раз "с ноля" в конкретных цифрах, тем не менее имеется и общая формула, с помощью которой можно записывать сразу результат выделения полного квадрата:

Существует операция, обратная операции сложения дробей с одинаковыми знаменателями, и которая называется почленным делением . Она заключается в том, чтобы наоборот каждое слагаемое из суммы в числителе некоторой дроби, записать отдельно над знаменателем этой дроби. Для операции почленного деления также можно записать общую формулу:

Существует также формула для разложения суммы квадратов на множители :

Решение рациональных уравнений

Решить уравнение – значит найти все его корни. Основной метод решения – путем алгебраических преобразований или замены переменных свести уравнение к равносильному, которое решается просто (например, к квадратному). Если свести уравнение к равносильному не получается, то могут возникать побочные корни. Сомневаетесь – проверяйте корни подстановкой.

Для многих уравнений важно понятие области допустимых значений для корней, далее – ОДЗ. На данном этапе (в рациональных уравнениях, т.е. тех, которые не содержат арифметических корней, тригонометрических функций, логарифмов и т.д.), основное условие которому должны отвечать корни уравнения, это чтобы при их подстановке в изначальный вид уравнения знаменатели дробей не обращались в ноль, т.к. на ноль делить нельзя. Таким образом, ОДЗ включает все возможные значения кроме тех которые обращают в ноль знаменатели дробей.

При решении уравнений (а в дальнейшем и неравенств) нельзя сокращать множители с переменной в левой и правой части уравнения (неравенства), в этом случае Вы потеряете корни. Нужно переносить все выражения налево от знака равно и выносить "сокращающийся" множитель за скобки, в дальнейшем нужно учесть корни, которые он дает.

Для того чтобы произведение двух или более скобок было равно нулю, достаточно чтобы любая из них по отдельности была равна нулю, а остальные существовали. Поэтому в таких случаях нужно по очереди приравнивать все скобки к нулю. В итоговый ответ нужно записать корни всех этих "веток" решения (если конечно эти корни входят в ОДЗ).

Иногда некоторые из дробей в рациональном уравнении можно сократить. Это нужно обязательно попытаться сделать и не упустить ни одной такой возможности. Но при сокращении дроби Вы можете потерять ОДЗ, поэтому дроби нужно сокращать только после записи ОДЗ, или же в конце решения полученные корни подставлять в первоначальное уравнение для проверки существования знаменателей.

Итак, для решения рационального уравнения необходимо:

1. Разложить все знаменатели всех дробей на множители.
2. Перенести все слагаемые влево, чтобы справа получился ноль.
3. Записать ОДЗ.
4. Сократить дроби, если это возможно.
5. Привести к общему знаменателю.
6. Упростить выражение в числителе.
7. Приравнять числитель к нулю и решать полученное уравнение.
8. Не забыть проверить корни на соответствие ОДЗ.

Одним из самых распространённых методов решения уравнений является метод замены переменных . Зачастую замена переменных выбирается индивидуально для каждого конкретного примера. При этом важно помнить о двух основных критериях введения замены в уравнения. Итак после введения замены в некоторое уравнение это уравнение должно:

• во-первых, стать проще;
• во-вторых, больше не содержать первоначальной переменной.

Кроме того, важно не забывать выполнять обратную замену, т.е. после нахождения значений для новой переменной (для замены), записывать вместо замены то, чему она равна через первоначальную переменную, приравнивать это выражение к найденным значениям для замены и опять решать уравнения.

Отдельно остановимся на алгоритме решения очень распространённых однородных уравнений . Однородные уравнения имеют вид:

Здесь А, В и С – числа, не равные нулю, а f (x ) и g (x ) – некоторые функции с переменной х . Однородные уравнения решают так: разделим все уравнение на g 2 (x ) и получим:

Производим замену переменных:

И решаем квадратное уравнение:

Получив корни этого уравнения не забываем выполнить обратную замену, а также проверить корни на соответствие ОДЗ.

Также при решении некоторых рациональных уравнений хорошо бы помнить про следующие полезные преобразования:

Решение систем рациональных уравнений

Решить систему уравнений – значит найти не просто решение, а комплекты решений, то есть такие значения всех переменных которые, будучи одновременно подставленными в систему, обращают каждое ее уравнение в тождество. При решении систем уравнений можно применять следующие методы (про ОДЗ при этом не забываем):

• Метод подстановки. Метод состоит в том, чтобы выразив одну из переменных из одного из уравнений, подставить это выражение вместо данной неизвестной в остальные уравнения, уменьшив таким образом количество неизвестных в оставшихся уравнениях. Данная процедура повторяется пока не останется одно уравнение с одной переменной, которое затем и решается. Остальные неизвестные последовательно находятся по уже известным значениям найденных переменных.
• Метод расщепления системы. Этот метод состоит в том, чтобы разложить одно из уравнений системы на множители. При этом необходимо чтобы справа в этом уравнении был ноль. Тогда приравнивая по очереди каждый множитель этого уравнения к нолю и дописывая остальные уравнения первоначальной системы, получим несколько систем, но каждая из них будет проще первоначальной.
• Метод сложения и вычитания. Данный метод состоит в том, чтобы складывая либо вычитая два уравнения системы (их предварительно можно и часто нужно умножать на некоторый коэффициент) получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.
• Метод деления и умножения. Данный метод состоит в том, чтобы разделив либо умножив соответственно левые и правые части двух уравнений системы получить новое уравнение, и заменить им одно из уравнений первоначальной системы. Очевидно, что такая процедура опять таки имеет смысл, только если новое уравнение будет получаться значительно проще ранее имевшихся.

Существуют и другие методы решения систем рациональных уравнений. В числе которых - замена переменных . Зачастую замена переменных подбирается индивидуально под каждый конкретный пример. Но есть два случая, где всегда нужно вводить совершенно определённую замену. Первый из этих случаев, это случай когда оба уравнения системы с двумя неизвестными являются однородными многочленами приравненными к некоторому числу. В этом случае нужно использовать замену:

После применения этой замены, к слову, нужно будет для продолжения решения таких систем использовать метод деления. Второй случай, это симметричные системы с двумя переменными, т.е. такие системы, которые не изменяются при замене x на y , а y на x . В таких системах необходимо применять следующую двойную замену переменных:

При этом, для того чтобы ввести такую замену в симметричную систему, первоначальные уравнения скорее всего придется сильно преобразовывать. Про ОДЗ и обязательность выполнения обратной замены в обоих этих методах, конечно нельзя забывать.

• Назад
• Вперёд

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.

Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.

В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.

Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.

Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.

Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.

Цель урока:

• повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
• воспитание познавательного интереса к учебному предмету
• формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию

Урок 1.

Ход урока.

1) Орг. момент.

2) Актуализация опорных знаний.

Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида

mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.

Пример: 5x+2y=10

Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.

1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6

Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.

Пусть x = 2, y = -2.5 2+6 = 1

x = 4, y = -2.5 4+6 =- 4

Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).

Данное уравнение имеет бесконечно много решений.

3) Историческая справка

Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.

В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.

Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.

4) Изучение нового материала.

Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0

Утверждение 1.

Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.

Пример: 34x – 17y = 3.

НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.

Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.

Утверждение 2.

Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.

Утверждение 3.

Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:

Где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z

Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)

Утверждение 4.

Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид

5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:

1. 9x – 18y = 5
2. x + y= xy
3. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.

Урок 2.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания

1) 9x – 18y = 5

5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.

Методом подбора можно найти решение

Ответ: (0;0), (2;2)

3) Составим уравнение:

Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174

Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.

Ответ: мальчиков 4, девочек 6.

3) Изучение нового материала

Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.

I. Метод рассмотрения остатков от деления.

Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1.

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.

Ответ: где m Z.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример: Решить уравнения в целых числах.

Пусть y = 4n, тогда 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.

y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.

y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.

y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.

Следовательно, y = 4n, тогда

4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n

Ответ: , где n Z.

II. Неопределенные уравнения 2-ой степени

Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.

И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример: Решить уравнение в целых числах.

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи

Ответ: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).

4) Домашнее задание.

Примеры. Решить уравнение в целых числах:

(x - y)(x + y)=4

2x = 4	2x = 5	2x = 5
x = 2	x = 5/2	x = 5/2
y = 0	не подходит	не подходит
2x = -4	не подходит	не подходит
x = -2
y = 0

Ответ: (-2;0), (2;0).

Ответы: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3), (10;-9).

в)

Ответ: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).

Итоги. Чтозначит решить уравнение в целых числах?

Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?

Приложение:

Упражнения для тренировки.

1) Решите в целых числах.

а) 8x + 12y = 32	x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29	x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75	x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1	x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36	x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29	x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119	x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60	x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z

2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:

Решение:Z (2; -1)

Литература.

1. Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
2. Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
3. Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
4. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
5. Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.

Конспект урока по математике

на тему:

« Рациональные уравнения с двумя переменными.

Основные понятия ».

Подготовила:

Учитель математики

МБОУ СОШ №2

Борщова Е. С.

Павловский Посад

Тип урока : изучение нового материала.

Тема урока : рациональные уравнения с двумя переменными. Основные понятия.

Цели :

ввести основные понятия и термины темы;

развивать математическую речь и мышление учащихся.

Оборудование: доска для записей, проектор, экран, презентация.

Организационный момент. (2 – 3 мин.)

(1 слайд)

Здравствуйте, ребята, присаживайтесь! Сегодня мы с вами рассмотрим новую, достаточно интересную тему, которая станет залогом к успешному усвоению будущего материала. Открываем рабочие тетради, записываем число, сегодня 16 октября, классная работа и тему урока: «Рациональные уравнения с двумя переменными. Основные понятия». (учитель тоже самое записывает на доске)

II . Актуализация знаний. (5 мин.)

(2 слайд)

Для того, чтобы начать изучение новой темы нам необходимо вспомнить некоторый материал, который вы уже знаете. Итак, вспомним элементарные функции и их графики:

1. График линейной функции

2. Парабола. График квадратичной функции , (а ≠ 0)

Рассмотрим канонический случай:

3. Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией

4. График гиперболы

Опять же вспоминаем тривиальную гиперболу

Очень хорошо!

III . Изучение нового материала (сопровождается презентацией). (35 мин.)

(3 слайд)

На предыдущих уроках вы выучили определение рационального уравнения с одной переменной, и сейчас мы говорим, что оно очень схоже с определением рационального уравнения с двумя переменными:

Его записывать не нужно, оно есть в ваших учебниках, еще раз прочитаете его дома и выучите!

А в тетради запишите примеры:

Далее можно сказать, что рациональное уравнение вида h(x; y) = g(x; y) всегда можно преобразовать к виду p(x; y) = 0, где p(x; y) = 0 – рациональное выражение. Для этого нужно переписать выражение так: h (x ; y ) - g (x ; y ) = 0, т. е. p (x ; y ) = 0. последние два равенства запишите себе в тетради!

(4 слайд)

Следующее определение внимательно слушаем и запоминаем, записывать его не нужно!

А в тетради запишите только примеры:

(5 слайд)

Решим такое уравнение (учащиеся записывают решение в тетради, учитель комментирует каждый шаг решения, параллельно отвечая на вопросы детей):

(6 слайд)

Следующее определение, это определение равносильности двух уравнение, его вы тоже уже знаете из предыдущих параграфов, поэтому просто смотрим и слушаем:

Теперь давайте вспомним, какие вы знаете равносильные преобразования:

Перенос членов уравнения из одной части в другую с противоположными знаками (примеры на доске, их можете не записывать, кто хочет – запишите);

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и тоже число отличное от нуля или (еще мы знаем) на выражение, всюду отличное от нуля (обратите на это внимание!); (примеры кому нужно запишите).

А какие вы знаете неравносильные преобразования?

1) освобождение от знаменателей, содержащих переменные;

2) возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Прекрасно!

(7 слайд)

Следующее понятие, которое мы сегодня рассмотрим, записываем – формула расстояния между двумя точками.

Пишите:

(учащиеся обе теоремы записывают себе в тетради)

Этот рисунок перерисовываем в тетради, подписываем оси координат, центр окружности, отмечаем радиус.

Есть ли у вас какие-то вопросы? (если вопросов нет, продолжаем работу)

(8 слайд)

Рассмотрим примеры, записывайте:

(рис. к П1)
(рис. к П2)

Дети постепенно, исходя их выше записанной теоремы, отвечая на вопросы учителя, самостоятельно решают, записывают решение в тетради, рисунки перерисовывают.

Молодцы! А сейчас, перерисуйте себе такую таблицу, она станет хорошим помощником в дальнейшем при решении задач.

(9 слайд)

Учащиеся аккуратно, каждый в своих тетрадях рисует данную таблицу и заносит в нее данные.

V. Домашнее задание (2 – 3 мин.).

(10 слайд)

До конца урока осталось 2 минуты, открываем дневники, записываем домашнее задание:

1) Глава 2, §5;

2) стр. 71 вопросы для самопроверки;

3) № 5.1; № 5.3 (а, б); № 5.7.

Самоанализ.

Начало урока было достаточно доброжелательным, искренним, открытым и организованным. Класс к уроку был подготовлен. Дети в течение всего урока показывали хорошую работоспособность.

Мною сразу были озвучены цели урока. Цели, предложенные детям на урок, соответствовали программным требованиям, содержанию материала.

В начале урока, в качестве активизации познавательной деятельности, детям было предложено вспомнить некоторый материал по ранее изученному материалу, с чем они справились без каких-либо особых затруднений.

Содержание урока соответствовало требованиям образовательного стандарта.

Структура урока предложена выше. На мой взгляд, целям и типу урока она соответствует. Этапы урока были логически связаны, плавно переходили один в другой. На каждом из этапов подводились итоги. Время распределялось на отдельные этапы по-разному в зависимости от того, какой из них являлся основным. На мой взгляд, оно было распределено рационально. Начало и конец урока были организованными. Темп ведения урока был оптимальным.

После первого этапа актуализации знаний шел основной этап урока – объяснение нового материала. Этот этап был главным, поэтому основное время было уделено именно ему.

Изложение нового материала было логичным, грамотным, на высоком теоретическом и одновременно доступном для детей уровне. Главные мысли по теме всегда мной выделялись и записывались учащимися в рабочие тетради.

Изучение нового материала было проведено в форме небольшой лекции с выполнением элементарных практических заданий, для наиболее быстрого и правильного усвоения материала.

Мною была выполнена презентация в программе PowerPoint. Презентация имела в основном вспомогательную функцию.

С целью контроля усвоения знаний на протяжении всего урока учащиеся решали задачи, по результатам чего я могла судить о степени усвоения теоретического материала каждым из детей. После проведения контроля знаний учителем была проведена коррекционная работа. Те вопросы, которые вызвали у учащихся наибольшее затруднение, были рассмотрены еще раз.

После этого был подведен итог урока и ученикам предложено домашнее задание. Домашнее задание было закрепляющего, развивающего характера. На мой взгляд, оно было посильно для всех детей.

Содержание урока было оптимальным, методы обучения – устный, наглядный и практический. Форма работы – беседа. Я использовала приемы активизации познавательной деятельности – это постановка проблемных вопросов, обобщение по планам обобщенного характера.

Учащиеся на уроке были активными. Они показали умение продуктивно работать, делать выводы по увиденному, умение анализировать и обобщать свои знания. Также дети показали наличие навыков самоконтроля, но лишь единицы были неусидчивы, и им уделялось наибольшее внимание с моей стороны.

Класс к уроку был подготовлен.

Я считаю, что цели поставленные в начале урока достигнуты.

Вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса, но это были только системы специального вида - системы двух линейных уравнений с двумя переменными. В 8-м классе вы научились решать рациональные уравнения с одной переменной, значит, можно подумать и о решении систем рациональных уравнений с двумя переменными, тем более что такие системы довольно часто представляют собой математические модели изучаемых ситуаций. Об одной из таких моделей вы уже узнали из учебника «Алгебра-8». Приведенный ниже пример заимствован из указанного учебника.

На практике удобнее более широкое истолкование термина «рациональное уравнение с двумя переменными»: это уравнение вида - рациональные выражения с двумя переменными х и у.
Примеры рациональных уравнений с двумя переменными:

Конечно, можно рассматривать рациональные уравнения и с другими переменными, не обязательно с х ну, например, а3 - bx = = 3аb - рациональное уравнение с двумя переменными а, b. Но по традиции в алгебре предпочитают в качестве переменных использовать буквы х, у.

Определение 2.

Решением уравнения р (х, у) = 0 называют всякую пару чисел (х;у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е. обращает равенство с переменными р (х, у) = 0 в верное числовое равенство.

Например:

1) (3; 7) - решение уравнения х 2 + у 2 = 58. В самом деле, З 2 + 7 2 = 58 - верное числовое равенство.
2) - решение уравнения х 2 + у 2 - 58. В самом деле, - верное числовое равенство (22 + 36 = 58).

3) (0; 5) - решение уравнения 2ху + х 3 = 0. В самом деле, 2 0 5 + 0+ О 2 = 0 - верное числовое равенство.
4) (1; 2) не является решением уравнения 2ху + х 3 = 0. В самом деле, 2 1 2 + 3 = 0 - неверное равенство (получается 5 = 0).

Для уравнений с двумя переменными, как и для уравнений с одной переменной, можно ввести понятие равносильности уравнений.

Определение 3.

Два уравнения р(х, у) = 0 и д(х, у) = 0 называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба уравнения не имеют решений).

Обычно при решении уравнения стараются заменить данное уравнение более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием уравнения. Два основных равносильных преобразования указаны ниже:

1) Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую с противоположными знаками.
Например, замена уравнения 2х + bу = 7х - 8у уравнением 2х - 7х - -8у - bу есть равносильное преобразование уравнения.
2) Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же отличное от нуля число или выражение.
Например, замена уравнения 0,5л:2 - 0,3ху = 2у уравнением 5л:2 - 3ху = 20у (обе части уравнения умножили почленно на 10) есть равносильное преобразование уравнения.

Неравносильными преобразованиями уравнения, как и в случае уравнений с одной переменной, являются:

1) Освобождение от знаменателей, содержащих переменные.
2) Возведение обеих частей уравнения в квадрат.

Если в процессе решения уравнения применялось одно из указанных неравносильных преобразований, то все найденные решения надо проверить подстановкой в исходное уравнение, поскольку среди них могут оказаться посторонние решения.

Иногда удается перейти к геометрической (графической) модели уравнения с двумя переменными, т.е. построить график уравнения. Вы, наверное, помните, что графиком линейного уравнения с двумя переменными ах + bу + с = 0 (а, Ь, с - числа, коэффициенты, где хотя бы одно из чисел а, Ь отлично от нуля) является прямая линия - геометрическая модель линейного уравнения. Попробуем найти соответствующие графические модели еще для некоторых рациональных уравнений с двумя переменными х и у.

Пример 2. Построить график уравнения у - 2х2 = 0.

Решение. Преобразуем уравнение к виду у = 2х2. Графиком функции у - 2х2 является парабола, она же считается графиком уравнения у - 2х2 = 0 (рис. 33).

Пример 3. Построить график уравнения ху = 2.
Решение. Преобразуем уравнение к виду Графиком функции - является гипербола, она же считается графиком уравнения ху = 2 (рис. 34).

Таким образом, если уравнение р(х, у) = О удается преобразовать к виду у = f (x), то график функции у - f (х) считается одновременно и графиком уравнения р(х, у) - 0.

Пример 4. Построить график уравнения х 2 + у 2 = 16.

Решение.

Воспользуемся теоремой из курса геометрии: графиком уравнения х 2 + у 2 = г 2 , где r- положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом r. Значит, графиком уравнения х 2 + у 2 = 16 является окружность с центром в начале координат и радиусом 4 (рис. 35).

Упомянутая выше теорема является частным случаем следующей теоремы , которая, надеемся, также известна вам из курса геометрии.

Пример 5. Построить график уравнения:

а) (х - I) 2 + (у - 2) 2 = 9; б) х 2 + у 2 + 4х= 0.

Решение:

а) Перепишем уравнение в виде (x - I) 2 + (у - 2) 2 = З2. Графиком этого уравнения, по теореме, является окружность с центром в точке (1; 2) и радиусом 3 (рис. 37).

б) Перепишем уравнение в виде (х 2 + 4х + 4) + у 2 = 4, т.е. (х + 2) 2 + у 2 = 4 и далее (х - (-2)) 2 + (у - О) 2 = 22. Графиком этого уравнения, по теореме, является окружность с центром в точке (-2; 0) и радиусом 2 (рис. 38).

Определение 4.

Если поставлена задача найти такие пары значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют уравнению р (х, у) = 0 и уравнению q (х, у) = 0, то говорят, что указанные уравнения образуют систему уравнений:

Пару значений (х; у), которая одновременно является решением и первого и второго уравнений системы, называют решением системы уравнений. Решить систему уравнений - это значит найти все ее решения или установить, что решений нет.
Например, пара (3; 7) - решение системы уравнений

В самом деле, эта пара удовлетворяет как первому, так и второму уравнению системы, значит, является ее решением. Обычно пишут так: (3; 7) - решение системы или A пара (5; 9) не является решением системы (1): она не удовлетворяет первому уравнению (хотя и удовлетворяет второму уравнению системы).

Разумеется, переменные в уравнениях, образующих систему уравнений, могут быть обозначены и другими буквами, например: Но в любом случае при записи ответа в виде пары чисел используют лексикографический метод, т.е. на первое место ставят ту из двух букв, которая в латинском алфавите встречается раньше.

Иногда удается решить систему уравнений графическим методом, с которым вы знакомы: надо построить график первого уравнения, затем построить график второго уравнения и, наконец, найти точки пересечения графиков ; координаты каждой точки пересечения служат решением системы уравнений.

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение.

1) Построим график уравнения х 2 + у 2 = 16 - окружность с центром в начале координат и радиусом 4 (рис. 39).
2) Построим график уравнения у - х = 4. Это прямая, проходящая через точки (0; 4) и (-4; 0) (рис. 39).
3) Окружность и прямая пересекаются в точках А и В (рис. 39). Судя по построенной геометрической модели, точка A имеет координаты А(-4; 0), а точка В - координаты В(0; 4). Проверка показывает, что на самом деле пара (-4; 0) и пара (0; 4) являются решениями обоих уравнений системы, а значит, и решениями системы уравнений. Следовательно, заданная система уравнений имеет два решения: (-4; 0) и (0; 4).

Ответ: (-4; 0); (0; 4).

Пример 7. Решить систему уравнений

Решение.

1) Переписав первое уравнение системы в виде у = 2х 2 , приходим к выводу: графиком уравнения является парабола (рис. 40).
2) Переписав второе уравнение системы в виде приходим к выводу: графиком уравнения является гипербола (рис. 40).

3) Парабола и гипербола пересекаются в точке А (рис. 40). Судя по построенной геометрической модели, точка A имеет координаты A (1; 2). Проверка показывает, что действительно пара (1; 2) является решением обоих уравнений системы, а значит, и решением системы уравнений. Следовательно, заданная система уравнений имеет одно решение: (1; 2).

Ответ: (1; 2).

Графический метод решения систем уравнений, как и графический метод решения уравнений, красив, но ненадежен: во-первых, потому, что графики уравнений мы сумеем построить далеко не всегда; во-вторых, даже если графики уравнений удалось построить, точки пересечения могут быть не такими «хорошими», как в специально подобранных примерах 6 и 7, а то и вовсе могут оказаться за пределами чертежа. Значит, нам нужно располагать надежными алгебраическими методами решения систем двух уравнений с двумя переменными. Об этом и пойдет речь в следующем параграфе.

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс

Материалы по математике онлайн , задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание